Senin, 10 Desember 2012

contoh soal dan penyelesaian struktur aljabar


1.Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif.
Jawaban:
P = {3x|x ∈ Z }
Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumahan.
  1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a+b ∈  P.
    Perhatikan :
    a+b = 3x + 3y = (x+x+x) + (y+y+y)
    = (x+y) + (x+y) + (x+y)
    = 3(x+y)
    Karena x+y ∈  Z, maka a+b ∈  P
  2. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a+b = b+a
    Perhatikan:
    a+b = 3x + 3y = 3(x+y)
    = 3(y+    x)
    = 3y + 3x
    = b + a
  3. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈  P. Akan ditunjukkan (a+b)+c = a+(b+c)
    Perhatikan:
    a+(b+c) = 3x + (3y + 3z)
    = 3x + 3(y+z)
    =3(x+ (y+z))
    = 3((x+y) + z)
    = 3(x+y) + 3z
    = (3x + 3y) + 3z
    = (a+b) + c
  4. Perhatikan bahwa 0 < Z, pilih 3.0 = 0 < P.
    Ambil sebarang a = 3x  P. Akan ditunjukkan 0 adalah unsur nol dalam P.
    Perhatikan:
    a + 0 = 3x + 3.0
    = 3(x+0)
    = 3x
    = a
    Ini berarti 0 unsur nol dalam P.
  5. Ambil sebarang a = 3x ∈  P. Pilih b = 3(-x) ∈  P. Akan ditunjukkan –(3x) = 3(-x)
    Perhatikan:
    3(x) + 3(-x) = 3(x+(-x))
    = 3.0
    = 0
    Jadi –(3x) = 3(-x)
Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P semigrup terhadap operasi perkalian.
  1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a.b ∈  P.
    Perhatikan:
    a .b = 3x . 3y
    = 3. 3xy
    = 3(3xy)
    Karena 3xy ∈  Z, maka a.b ∈  P.
  2. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈  P. Akan ditunjukkan a.(b.c) = (a.b).c
    Perhatikan:
    a.(b.c) = 3x(3y . 3z)
    = 3x(3(3yz))
    = 3.3.3(x(yz))
    = 3.3.3((xy)z)
    = 3.3(xy) . 3z
    = (3x . 3y). 3z
    = (a.b). c
Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P distributif perkalian terhadap penjumlahan.
  1. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y, c = 3z ∈  P. Akan ditunjukkan a(b+c) = a.b + a.c dan (b+c)a = b.a + c.a
    Perhatikan:
    a(b+c) = 3x(3y + 3z)
    = 3x(3(y + z))
    = 3.3(x(y + z))
    = 3.3(xy + xz)
    = 3.3xy + 3.3xz
    = a.b + a.c(b+c)a = (3y + 3z). 3x
    = ((y+z)3). 3x
    = ((y+z)x)3.3
    = (yx + zx)3.3
    = 3.3yx + 3.3zx
    = 3y.3x + 3z.3x
    = b.a + c.a
Langkah merikutnya menunjukkan bahwa P bersifat komutatif.
  1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a.b = b.a
    Perhatikan:
    a .b = 3x. 3y
    = 3.3xy
    = 3.3yx
    = 3y. 3x
    = b.a
Jadi P adalah gelanggang atau ring komutatif.


2. Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.
Bukti :
Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan darah asal (domain) dari fungsi.
Misalkan f : Z → Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z maka:
x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Z
sehingga:
xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai nq + r.
Akibatnya:
xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.
Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .
Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)
Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring
3. Bila didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring bagian dari R.
Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(√2 ) juga himpunan yang tidak kosong.
Terhadap operasi pergandaan bersifat
( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) √2
dan terhadap operasi pengurangan bersifat
( a + b ) √2 – ( c + d ) √2 = ( a – c ) + ( b – d ) √2
Karena ac + 2bd, ad + bc, a – c dan a – d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi pengurangannya tetap dalam Q (√2 ).
Oleh karena itu Q (√2 ) merupakan ring bagian dari R.
Perlu dicatat bahwa Q (√2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleks
C = { a + b i │a, b dalam R }
Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b√2 dan dalam hal ini ring Q ( √2 ) mengandung Q, seperti juga C mengandung R.
4. Tunjukan bahwa Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma.
Penyelesaian :

Tabel
Daftar Cayley Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)


http://ciiekaajn.files.wordpress.com/2012/05/picture2.jpg

Dari tabel di atas menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel tersebut menunjukkan suatu kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang dua unsur di (Z2,+) berkorespodensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian di (H, .), sehingga terdapat korespodensi 1 – 1 dari kedua tabel tersebut.
Hal ini menunjukkan bahwa kedua Grup memiliki struktur yang sama. Jadi kedua Grup tersebut dikatakan Isomorfik. Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan p : (Z2,+) → (H,.), untuk setiap a, b ∈ Z2. Dari tabel diketahui pemetaan p(0) = 1 dan p(1) = -1,
sehingga :
p(a + b) = p(a) . p(b)
p(0 + 1) = p(0) . p(1)
p(1) = 1 . -1
-1 = -1
Jadi terbukti bahwa p : (Z2,+) → (H, .) suatu Homomorfisma yang pemetaannya bijektif, sehingga merupakan Isomorfisma.


5. Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa (Z,+) yang didefinisikan pemetaan p : Z → Z adalah p(x) = 2x, ∀ x ∈ Z, adalah suatu Homomorfisma.
Penyelesaian :
Akan ditunjukkan sifat dari Homomorfisma :
Misalkan x, y ∈ Z, maka p(x + y) = 2(x + y)
= 2x + 2y
= p(x) + p(y)
Sehingga p adalah suatu Homomorfisma.
Dalam hal ini Homomorfisma p merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan (kodomain) sama dengan daerah asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari sautu Grup ke dalam dirinya sendiri.

6. Tunjukan bahwa Z4adalah merupakan suatu Ring.
Penyelesaian :
Tabel
Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)-0



http://ciiekaajn.files.wordpress.com/2012/05/picture3.jpg
Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring bila memenuhi :
1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+)
-          Tertutup
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z4
1 + 0 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
1 + 3 = 0
karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈  Z4, maka tertutup terhadap Z4
-          Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari Z6, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈  Z4
(a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2
a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2
Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = 2
maka Z4 assosiatif
-          Adanya unsur satuan atau identitas
Ambil sebarang nilai dari Z4
  • misalkan 0 ∈  Z4
    0 + e = e + 0 = 0
  • misalkan 1 ∈  Z4
    1 + e = e + 1 = 1
  • misalkan 2 ∈  Z4
    2 + e = e + 2 = 2
  • misalkan 3 ∈  Z4
    3 + e = e + 3 = 3
maka Z4 ada unsur satuan atau identitas
-          Adanya unsur balikan atau invers
  • Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0 ∈  Z4, pilih 0 ∈  Z4,
    sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1 = 0
  • Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 1 ∈  Z4, pilih 3 ∈  Z4,
    sehingga 1 + 3 = 0 = e, maka (1)-1 = 3
  • Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 ∈  Z4, pilih 2 ∈  Z4,
    sehingga 2 + 2 = 0 = e, maka (2)-1 = 2
  • Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 3 ∈  Z4, pilih 1 ∈  Z4,
    sehingga 3 + 1 = 0 = e, maka (3)-1 = 1
maka Z4 ada unsur balikan atau invers
-          Komutatif
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 3 ∈  Z4
(a + b) = (2 + 3) = 1
(b + a) = (3 + 2) = 1
Sehingga :
(a + b) = (b + a) = 1
maka Z4 komutatif
Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +).
2. Semigrup terhadap perkalian (Z4,.)
-          Tertutup
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 ∈  Z4
1 . 0 = 0
1 . 1 = 1
1 . 2 = 2
1 . 3 = 3
karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈  Z4, maka tertutup terhadap Z4
-          Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈  Z4
(a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2
a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2
Sehingga :
(a . b) . c = a . (b . c) = 2
maka Z4 assosiatif
Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (Z4, .).
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈  Z4
a.(b + c) = 2.(1 + 3)
= 2.(0)
= 0
(a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3)
= 2 + 6
= 0
Maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0
(a + b).c = (2 + 1).3
= (3).3
= 1
(a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3)
= 2 + 3
= 1
Maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1
Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Karena Z4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka Z4 adalah suatu Ring (Z4,+,.).

7. Dari soal no.6 tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif.
Penyelesaian :
Dari soal no.6, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring (Z4,+,.). Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut.
a . b = b . a,  a,b ∈  Z4
Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3 ∈  Z4 (pada tabel no.6)
2 . 3 = 2
3 . 2 = 2
Sehingga
2 . 3 = 3 . 2 = 2
Karena Ring (Z4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z4,+,.) tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian.

8. Misalkan P = {genap, ganjil} dan P ⊆ Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan “genap” dan “ganjil” adalah suatu Ring Komutatif.
Penyelesaian:
Tabel
Daftar Cayley (P, +) dan (P, .)

http://ciiekaajn.files.wordpress.com/2012/05/tabel.jpg
Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan suatu Ring Komutatif bila memenuhi :
1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)
-          Tertutup
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap, ganjil ∈   P
genap + genap = genap
genap + ganjil = ganjil
ganjil + ganjil = genap
Karena hasilnya genap dan ganjil ∈  P, maka tertutup terhadap P
-          Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈  P
(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil
a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil
Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = ganjil
Maka P assosiatif
-          Adanya unsur satuan atau identitas
  • Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈  P, pilih genap ∈  P,
sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap
  • Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈  P, pilih genap ∈  P,
sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap
maka P ada unsur satuan atau identitas
-          Adanya unsur balikan atau invers
  • Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈  P, pilih genap ∈  P,
    sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)-1 = genap
  • Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈  P, pilih ganjil ∈  P,
    sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)-1 = ganjil
maka P ada unsur balikan atau invers
-          Komutatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil ∈  P
(a + b) = (genap + ganjil) = ganjil
Sehingga :
(a + b) = (b + a) = ganjil
maka P komutatif
Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P, +).
2. Monoid terhadap perkalian (P, .)
-          Tertutup
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap dan ganjil ∈ P
genap . ganjil = genap
genap . genap = genap
ganjil . ganjil = ganjil
karena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P
-          Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P
(a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap
a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genap
Sehingga :
(a . b) . c = a . (b . c) = genap
maka P assosiatif
-          Adanya unsur satuan atau identitas
  • Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P,
    sehingga genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil
  • Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil ∈ P,
    sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil
maka P ada unsur satuan atau identitas
-          Komutatif
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil ∈ P
(a . b) = (genap . ganjil) = genap
(b . a) = (ganjil . genap) = genap
Sehingga :
(a . b) = (b . a) = genap
maka P komutatif
Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif  terhadap perkalian (P, .).
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P
a.(b + c) = genap . (ganjil + genap)
= genap.(ganjil)
= genap
(a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap)
= genap + genap
= genap
maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap
(a + b).c = (genap + ganjil). Genap
= (ganjil). Genap
= genap
(a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap)
= genap + genap
= genap
maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap
Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatu Ring Komutatif (P,+, .).

9. Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain.
Penyelesaian :
Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.
Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengan kata lain:
a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0
Misalkan :
X = {…,-3, -1, 1, 3, …} adalah himpunan bilangan ganjil dan
Y = {…, -4, -2, 0, 2, 4,…} adalah himpunan bilangan genap.
Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan genap ada unsur nol.
Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0, ∀ a,b ∈ P.

10. Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a ≠ 0, serta b,c ∈ R.Tunjukan bahwa b = c.
Penyelesaian :
ab = ac, maka:
ab – ac = 0
a(b – c) = 0
Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a ≠ 0, maka :
b – c = 0
Jadi b = c 
11. Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain.
Penyelesaian :
Daftar Cayley (Z4, .)
http://ciiekaajn.files.wordpress.com/2012/05/picture4.png

Dari tabel diatas, dapat kita lihat bahwa [2] adalah merupakan pembagi nol, dimana diperoleh [2].[2] = 0, sehingga kita tidak selalu dapat mengkensel seperti [2].[1] = [2].[3] tetapi [1] ≠ [3].
Jadi dapat disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan suatu Integral Domain karena memiliki pembagi nol yaitu [2].
12. Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field.
Penyelesaian :
Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.
Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian, dengan kata lain:
∀ a ∈ P, ∃ a-1 ∈ P, sedemikian sehingga a . a-1 = a-1 . a = e
Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil
  •  Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P,
    sehingga genap.ganjil = genap ≠ e
  •  Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P,
    sehingga genap.genap = genap ≠ e
maka P tidak ada unsur balikan atau invers.
Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} bukan merupakan Field.
Dari soal no.8, dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P ∈ Z, adalah suatu Ring Komutatif yang juga merupakan Integral Domain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakan Field (Lapangan).

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar